Conoidi e sferoidi

“Archimede a Dositeo, salute. Rimetto in questo libro, non solo le dimostrazioni dei rimanenti teoremi non compresi fra quelli che ti mandai, ma ben pure le dimostrazioni di altri teoremi che ho scoperto in seguito e che hanno tenuto incerta la mia mente; poiché, avendoli esaminati a più riprese, mi sembravano presentare molte difficoltà. Ecco perché questi teoremi non furono compresi negli altri; ma avendoli esaminati nuovamente con maggiore attenzione, ho trovato i risultati che mi erano sfuggiti”           

Così si apre l’opera Conoidi e Sferoidi di Archimede, che si propone di affrontare “quel che restava dei primi teoremi (che) riguardava la conoide parabolica; quanto a quelli che sono stati scoperti in ultimo, riguardano la conoide iperbolica e le sferoidi”.           

Si tratta del calcolo dei volumi dei solidi ottenuti dalla rotazione completa di una curva piana attorno ad un asse fisso: un conoide rettangolo, che si ottiene dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse; un conoide ottusangolo, che si ottiene dalla rotazione di un’iperbole attorno al suo asse trasverso; uno sferoide, che si ottiene dalla rotazione di un’ellisse attorno ad un suo asse.                  

L’opera è da ritenersi importante non solo per le scoperte in campo geometrico fatte dal matematico siracusano, ma anche per il rigore del metodo dimostrativo applicato, che si rivelerà essere nuovamente il metodo di esaustione. L’intera opera è inviata al matematico Dositeo per illustrargli teoremi non contenuti nelle opere precedentemente inviategli. Archimede lo guida attraverso 32 proposizioni opportunamente dimostrate, spesso rifacendosi a teoremi dimostrati da lui stesso, in opere precedenti, o da altri matematici.

Sottolineiamo come le dimostrazioni presenti nell’opera siano particolarmente complesse sia per i passaggi sia per i teoremi utilizzati. Lo scopo che ci proponiamo è perciò quello di esplicitare con passaggi chiari e precisi quanto Archimede afferma e dimostra in alcune proposizioni di quest’opera, che ci sono sembrate particolarmente interessanti e significative; precisamente le Proposizioni 19 e 21, riguardanti il conoide rettangolo e il calcolo del suo volume.          
Vedremo poi il calcolo del volume del conoide rettangolo utilizzando il moderno calcolo integrale, sconosciuto ad Archimede, ma di cui si può ritenere il precursore, proprio grazie al suo metodo di esaustione (si veda a tal proposito la sezione dedicata all’opera Sulla Sfera e il cilindro).