Quadratura della parabola

L’opera Quadratura della parabola ha per argomento la quadratura del segmento parabolico, ossia la costruzione di un poligono avente la stessa area.     
L’opera è preceduta da una lettera che Archimede indirizza a Dositeo, dopo aver appreso della morte dell’amico e matematico Canone, di cui Dositeo era stato probabilmente discepolo: ”avendo sentito che tu avevi ben conosciuto Canone e che sei esperto di geometria, ci dolemmo per la morte di un amico e mirabile nelle matematiche, e decidemmo di farti giungere per iscritto, come avevamo pensato di scrivere a Canone, uno dei teoremi di geometria che prima non era stato studiato, e che era ora trattato da noi”. Nel seguito della lettera Archimede sottolinea il fatto di essere il stato il primo a dimostrare correttamente l’area del segmento parabolico “tra quelli che prima di noi si sono occupati di geometria, alcuni tentarono di esporre per iscritto che era possibile trovare un’area poligonale uguale ad un cerchio dato o ad una parte di cerchio, e poi tentarono di quadrare l’area compresa da tutta la sezione del cono e una retta, assumendo lemmi non facilmente ammissibili, cosicchè il più delle persone hanno riconosciuto che questi problemi non erano stati risolti. Ma per quanto riguarda il segmento compreso da una retta e da una sezione di un cono rettangolo sappiamo che nessuno prima di noi ha tentato di quadrarlo, ciò che da noi è stato ora trovato. Dimostriamo infatti che qualunque segmento compreso da una retta e da una sezione di cono rettangolo è uguale ai 4/3 del triangolo avente la stessa base e altezza uguale al segmento” (traduzioni tratte da Opere di Archimede, a cura di A. Frajese).          
L’opera propone la quadratura della parabola attraverso due metodi risolutivi: “inviamo dunque le dimostrazioni che abbiamo scritto di questo teorema, dapprima come è stato trattato per via meccanica, dopo come è stato dimostrato per via geometrica”.    
Si pensa che Archimede sia giunto a determinare la quadratura della parabola prima servendosi del suo metodo meccanico, come abbiamo visto nella Proposizione 1 del suo Metodo; ma tale metodo meccanico è diverso dalla dimostrazione meccanica presente nella prima parte di quest’opera (Proposizioni 6-17): qui Archimede si serve ancora della legge di equilibrio di una leva, ma poi completa la dimostrazione servendosi del metodo di esaustione.        
Noi vedremo come Archimede, nella seconda parte dell’opera (Proposizioni18-24), dimostri la stessa proprietà utilizzando solamente proprietà geometriche: egli si serve di alcune proprietà della parabola che espone nelle prime cinque Proposizioni, “riempie” poi la figura con una “serie” di triangoli sempre più piccoli e completa la dimostrazione, ancora una volta, con il metodo di esaustione.